Extensión de cuerpos

En álgebra, las extensiones de cuerpo son el problema fundamental de la Teoría de Cuerpos. Un cuerpo es un conjunto en el que las operaciones suma y producto están definidas y «funcionan bien». Cuando se construye una extensión de un cuerpo, se busca un conjunto más grande en el que las operaciones suma y producto sigan funcionando bien y además se puedan resolver las ecuaciones polinómicas.

Sea ${\displaystyle (F,+,\cdot )}$ un cuerpo, decimos que un cuerpo ${\displaystyle K}$ es una extensión de ${\displaystyle F}$ si ${\displaystyle F}$ es un subcuerpo de ${\displaystyle K}$; es decir, si ${\displaystyle (K,+,\cdot )}$ es un cuerpo y ${\displaystyle (F,+,\cdot )}$ es un cuerpo con la restricción a ${\displaystyle F}$ de las operaciones ${\displaystyle +}$ y ${\displaystyle \cdot }$ en ${\displaystyle K}$. Que ${\displaystyle K}$ sea extensión de ${\displaystyle F}$ se denota usualmente como ${\displaystyle K/F}$, ${\displaystyle K|F}$ o ${\displaystyle K:F}$.

En efecto, la adición de ${\displaystyle F}$ sirve también de adición en el espacio vectorial, y la multiplicación de un elemento de ${\displaystyle F}$ por uno de ${\displaystyle K}$ define el producto escalar del espacio vectorial.

Por definición de cuerpo, ${\displaystyle (K,+)}$ es grupo abeliano, y podemos considerar el producto por escalares ${\displaystyle \cdot :F\times K\longrightarrow K}$ como una restricción a ${\displaystyle F\times K}$ del producto en ${\displaystyle \cdot :K\times K\longrightarrow K}$. De esta forma es inmediato que se cumple que:

• ${\displaystyle a\cdot (\alpha +\beta )=(a\cdot \alpha )+(a\cdot \beta )}$,

• ${\displaystyle (a+b)\cdot \alpha =(a\cdot \alpha )+(b\cdot \alpha )}$,

• ${\displaystyle (a\cdot (b\cdot \alpha ))=(a\cdot b)\cdot \alpha }$,

• ${\displaystyle 1\cdot \alpha =\alpha }$,

cualesquiera que sean ${\displaystyle a,b\in F}$ y ${\displaystyle \alpha ,\beta \in K}$. Las dos primeras propiedades son debidas a la distributividad del producto respecto de la suma en ${\displaystyle K}$ y a que ${\displaystyle F\subseteq K}$, la tercera se debe a que el producto es asociativo en ${\displaystyle K}$, y la cuarta se debe a que ${\displaystyle F}$ es subcuerpo de ${\displaystyle K}$, por lo que el elemento unidad de ${\displaystyle K}$ es el elemento unidad de ${\displaystyle F}$.

Sea ${\displaystyle K/F}$ una extensión de cuerpos y ${\displaystyle \alpha \in K}$, consideremos el conjunto ${\displaystyle F(\alpha ){\overset {\triangle }{=}}\left\{{\frac {f(\alpha )}{g(\alpha )}}\ {\Big |}\ f,g\in F[x],\ g(\alpha )\neq 0\right\}}$. Este conjunto es un cuerpo, es extensión de ${\displaystyle F}$ y subcuerpo de ${\displaystyle K}$, y de hecho es la menor extensión de ${\displaystyle F}$ que contiene a ${\displaystyle \alpha }$. Se le denomina extensión generada por ${\displaystyle \alpha }$ sobre ${\displaystyle F}$. Al estar generada por un solo elemento, hablamos de una extensión simple.

Demostración:

La extensión ${\displaystyle K}$ se puede construir como ${\displaystyle K:=F[x]/\langle p(x)\rangle }$, es decir, el anillo de polinomios con coeficientes en ${\displaystyle F}$ módulo el ideal generado por ${\displaystyle p(x)}$. Vamos a ver que cumple todos los requisitos: que es un cuerpo, una extensión de ${\displaystyle F}$ y que contiene un elemento que es raíz de ${\displaystyle p}$.

Veamos que es un cuerpo. Como ${\displaystyle p(x)\in F[x]}$ es irreducible y ${\displaystyle F[x]}$ es un dominio de ideales principales, el ideal ${\displaystyle \langle p(x)\rangle \subseteq F[x]}$ generado por ${\displaystyle p(x)}$ es maximal. Como ${\displaystyle \langle p\rangle }$ es maximal, el cociente ${\displaystyle F[x]/\langle p\rangle }$ es un cuerpo, como queríamos.

Para ver que es una extensión de ${\displaystyle F}$, basta encontrar un subcuerpo de ${\displaystyle K}$ isomorfo a ${\displaystyle F}$ o simplemente un morfismo inyectivo ${\displaystyle F\hookrightarrow K}$ (pues su conjunto imagen será un subcuerpo de ${\displaystyle K}$ isomorfo a ${\displaystyle F}$ por el segundo teorema de isomorfía). Un tal morfismo es el que manda cada ${\displaystyle \alpha \in F}$ a la clase de equivalencia del polinomio constante igual a ${\displaystyle \alpha }$, es decir, ${\displaystyle \alpha \mapsto [\alpha ]}$. Este es claramente un morfismo y es inyectivo como todo morfismo de cuerpos.

Por último, encontremos un elemento de ${\displaystyle K}$ que es raíz de ${\displaystyle p}$. Ese elemento es ${\displaystyle [x]\in {F[x]}/{\langle p\rangle }}$, la clase de equivalencia del polinomio ${\displaystyle x\in F[x]}$. En efecto, como ${\displaystyle [f(x)+g(x)]=[f(x)]+[g(x)]}$ y ${\displaystyle [f(x)g(x)]=[f(x)][g(x)]}$ para cualesquiera polinomios ${\displaystyle f,g\in F[x]}$ (por definición de anillo cociente), tenemos que para cualquier polinomio ${\displaystyle f(x)=\sum a_{i}x^{i}\in K[x]}$ se tiene que ${\displaystyle f([x])=\sum a_{i}[x]^{i}=\left[\sum a_{i}x^{i}\right]=[f(x)]}$. En particular, obtenemos que ${\displaystyle p([x])=[p(x)]=[0]}$, como queríamos. ${\displaystyle \quad \square }$

La función ${\displaystyle \Phi _{\alpha }:F[x]\longrightarrow F(\alpha )}$ que a cada polinomio ${\displaystyle p(x)\in F[x]}$ le hace corresponder su evaluación en ${\displaystyle \alpha }$, i. e., ${\displaystyle \Phi _{\alpha }(p)=p(\alpha )}$. Esta aplicación es de hecho un isomorfismo de anillos conmutativos y unitarios, y se denomina homomorfismo evaluación.

Una extensión ${\displaystyle K/F}$ se dice que es algebraica si todo elemento ${\displaystyle \alpha \in K}$ es algebraico sobre ${\displaystyle F}$.

Supongamos que existe algún polinomio ${\displaystyle p\in F[x]}$ que tiene a ${\displaystyle \alpha }$ por raíz.

En esta situación (${\displaystyle \ker \Phi _{\alpha }\neq \{0\}}$, o equivalentemente, existe algún ${\displaystyle p\in F[x]}$ irreducible con ${\displaystyle F[x]/{\langle p\rangle }\cong F(\alpha )}$) se dice que ${\displaystyle \alpha }$ es algebraico sobre ${\displaystyle F}$.

Un elemento es entonces algebraico sobre un cuerpo si y solo si es raíz de algún polinomio a coeficientes en dicho cuerpo.

Si ${\displaystyle \alpha }$ es un elemento algebraico sobre el cuerpo ${\displaystyle F}$ de manera que ${\displaystyle \alpha \notin F}$, el polinomio ${\displaystyle p}$ que genera al núcleo de la aplicación evaluación (i.e., ${\displaystyle \ker \Phi _{\alpha }=\langle p\rangle }$) es irreducible. Dividiendo ${\displaystyle p(x)}$ por su coeficiente principal (aquel escalar que multiplica a la mayor potencia de la variable ${\displaystyle x}$) se obtiene un polinomio mónico (es decir, de manera que su coeficiente principal es la unidad), que se denota por ${\displaystyle {\text{Irr}}(\alpha ,x,F)}$ y se denomina polinomio mínimo de ${\displaystyle \alpha }$ sobre ${\displaystyle F}$.

Claramente, ${\displaystyle F(\alpha )\cong F[x]/\langle {\text{Irr}}(\alpha ,x,F)\rangle }$.

Una extensión ${\displaystyle K/F}$ se dice que es trascendente si existe algún elemento ${\displaystyle \alpha \in K}$ que sea trascendente sobre ${\displaystyle F}$.

Si el ker del homomorfismo evaluación es${\displaystyle \ker \Phi _{\alpha }=\{0\}}$, será ${\displaystyle \Phi _{\alpha }}$ un monomorfismo. En ese caso, ${\displaystyle F(x)}$ (el cuerpo de fracciones de ${\displaystyle F}$) es isomorfo a ${\displaystyle F(\alpha )}$.

Se dirá que el elemento ${\displaystyle \alpha }$ es trascendente sobre ${\displaystyle F}$ y que ${\displaystyle F(\alpha )}$ es una extensión trascendente sobre ${\displaystyle F}$. Además, no existirá ningún polinomio con coeficientes en ${\displaystyle F}$ que tenga por raíz a ${\displaystyle \alpha }$; es decir, si ${\displaystyle p(x)\in F[x]}$, entonces ${\displaystyle p(\alpha )\neq 0}$.

Como todo espacio vectorial tiene base, podemos calcular la dimensión de ${\displaystyle K}$ como espacio vectorial sobre ${\displaystyle F}$, denotado por ${\displaystyle \operatorname {dim} _{F}(K)}$. Se denomina grado de la extensión ${\displaystyle K/F}$ a la dimensión de ${\displaystyle K}$ como ${\displaystyle F}$-espacio vectorial: ${\displaystyle [K:F]=\operatorname {dim} _{F}(K)}$.

Tomemos varios ejemplos:

${\displaystyle F=\mathbb {Q} }$ el cuerpo de los racionales y ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ el cuerpo de los reales; ${\displaystyle \mathbb {R} }$ visto como espacio vectorial sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, es de dimensión infinita, es decir, ${\displaystyle [\mathbb {R} :\mathbb {Q} ]=\infty }$.

El resultado no sorprende si se considera los cardinales de ambos conjuntos: Si la dimensión de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ fuese finita, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ sería isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n},n\in \mathbb {N} }$, lo que no es posible porque ${\displaystyle |\mathbb {Q} ^{n}|=|\mathbb {Q} |=|\mathbb {N} |<|\mathbb {R} |}$.

Si ${\displaystyle F=\mathbb {Q} }$, el cuerpo de los racionales y ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$, el menor cuerpo que contiene a la vez ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ y ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, claramente ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ es una extensión algebraica de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, ya que ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ es raíz del polinomio ${\displaystyle x^{2}-2}$.

Al mismo tiempo:

${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\cong \mathbb {Q} [x]/\langle x^{2}-2\rangle }$

ya que el ideal ${\displaystyle \langle x^{2}-2\rangle }$ es el núcleo del morfismo ${\displaystyle \Phi _{\sqrt {2}}:\mathbb {Q} [x]\longrightarrow \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$, claramente este es un morfismo suprayectivo, se sigue del primer teorema de isomorfismo que son campos isomorfos.

Además ${\displaystyle [\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}):\mathbb {Q} ]=2}$, es decir, la dimensión de ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ como espacio vectorial sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ es 2, esto es así ya que 2 es el grado del polinomio mónico e irreducible que tiene a ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ como raíz: ${\displaystyle x^{2}-2}$.

En general ${\displaystyle [F(\alpha ):F]=n}$ si ${\displaystyle n}$ es el grado del polinomio mónico e irreducible en ${\displaystyle F[x]}$ que tiene a ${\displaystyle \alpha }$ como raíz.

• Teoría de cuerpos

• Weisstein, Eric W. «Extension Field». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.